摘要：針對分析振蕩器時缺乏合理的描述方法，提出從理想振蕩器的輸出形式出發，得到了種用非線性隨機微分方程來描述振蕩器行為的統方法，討論了該模型的合理性，并給出了該模型周期解的穩定性條件，為模型的實際使用奠定了基礎．

關鍵詞：振蕩器；周期解；穩定性

　振蕩器是電子線路中為重要的電子器件之，它為諸多領域提供頻率的基準，廣泛應用于通信、郵電、電子、航空航天、儀器儀表等的設備與系統中．如何對振蕩器建模，從而分析振蕩器并提高其性能具有重要意義．就目前而言，關于振蕩器的頻率穩定性的方法研究主要集中在外，其中，Ｌｅｅｓｏｎ提出的經驗化模型方法是采用線性時不變系統的理論來進行研究的．Ｓａｕｖａｇｅ則從數學原理上證明了Ｌｅｅｓｏｎ模型的有效性．Ｌｅｅｓｏｎ的經驗化模型盡管對實際振蕩器的設計具有定的指導價值，但是Ｌｅｅｓｏｎ模型并沒有描述

相位噪聲產生的全部機理．此外，Ｌｅｅｓｏｎ模型中的些關鍵參數必須通過實際測量才能得到，因而不能預測振蕩器的相位噪聲．Ｈａｊｉｍｉｒｉ等則是吸取了Ｌｅｅｓｏｎ模型和在此基礎上發展得到的其他模型在振蕩器設計中便于運用的特點，引入線性周期時變系統理論，提出了分析相位噪聲的時變相位噪聲模型．Ｄｅｍｉｒ等則是從描述振蕩器的非線性自治模型出發，由于穩態周期解的任意時間平移向量仍然是振蕩器系統的穩態周期解，考慮到噪聲與狀態變量相比足夠小時，可以在其中直接加上引入的噪聲．然后對穩態解進行擾動分析，不僅引入了正則擾動項，而且還引入了對時間變量的擾動．并在穩態點處進行次展開，得到了線性周期時變系統，后由Ｆｌｏｑｕｅｔ理論，得到了振蕩器穩態周期解的導數所滿足方程的解，從而得到噪聲引起的相位噪聲．

綜合目前的研究方法，或者直接建立相應的線性系統進行分析，或者對原非線性系統線性化處理后再研究．由于振蕩器在開始起振的階段，其閉環增益幅度要大于１，才能將振蕩器內部或外部的噪聲進行放大，從而使振蕩的幅度不斷增加．當振蕩的幅度增至定程度時，振蕩器中的有源器件，其非線性特性將使得環路的增益逐漸下降，只有當閉環的增益幅度下降為１時，振蕩信號的幅度才能穩定．所以，實際意義的振蕩器定都是非線性系統．任何的線性化處理都將改變振蕩器系統的物理本質．

本文引入非線性自治微分方程來描述振蕩器，提出將噪聲信號作為非線性自治微分方程的項來描述振蕩器的噪聲，通過建立相應的非線性隨機微分方程來分析振蕩器的相位噪聲．對于所建模型，如何判斷其周期解的穩定性，對于具體振蕩器模型正確性的判定具有重要意義，個具有穩定周期解的模型才符合實際情況．對于我們所建立的振蕩器模型形式，關鍵在于分析其非線性項應具有何等解析特征，才能滿足模型的周期解是穩定的．本文以振蕩器的輸出形式出發，通過構造周期解在相平面任意點處的法線方程，然后運用Ｋｏｎｉｇｓ定理及推論，得到了所建模型非線性項對于周期解的穩定性所應滿足的條件，為模型的使用奠定了基礎．對于振蕩器電路系統的數學建模，從節點處電流所應滿足的基爾霍夫電流定律出發，將注入節點的電流噪聲引入微分方程，那么電流的噪聲定是以方程中項的形式出現在微分方程中，因此可以直接引入噪聲項ｗ（ｔ），來建立含噪聲振蕩器系統的隨機非線性微分方程模型是合理的．

３　結　論

本文通過從理想振蕩器的輸出形式出發，提出了種描述振蕩器行為的統模型．通過對該模型中非線性項所應具有的形式進行的詳細討論，得到了該模型周期解穩定性判別的個解析方法，即式（２５），為本文所提模型的具體使用提供了依據．但是考慮到實際振蕩器模型的非線性項，可能具有非常復雜的解析形式，那么本文得到的模型周期解穩定性判別方法可能不易使用，因此進步簡化本文所建模型周期解的穩定性條件，或從其他角度得到等效的更為簡便的判別準則將是下步的研究方向．